多元线性回归计算器（OLS · R² · F/t 检验）

普通最小二乘（OLS）：对含截距的设计矩阵 X 解正规方程 (XᵀX)b = XᵀY（列主元 Gauss 消元）得系数 b；残差方差 MSE = SSE/(n−p−1)，系数协方差阵 MSE·(XᵀX)⁻¹ 开方得各系数标准误，t = b/SE 配 t(n−p−1) 分布得双尾 p 值；R² = 1−SSE/SST，调整 R² = 1−(1−R²)(n−1)/(n−p−1)，F = (SSR/p)/MSE 配 F(p, n−p−1) 检验模型整体显著性——与 SPSS/Stata 的 OLS 输出同口径。

只关心一个自变量且不需要控制其他因素时用一元回归（本站有一元线性回归计算器）；现实中 Y 往往同时受多个因素影响，只放一个 X 会把其他变量的影响都算到它头上（遗漏变量偏误）。论文里通常先做相关分析，再用多元回归「控制其他变量后」检验核心解释变量是否仍显著。

硬性下限是 n ≥ p+2（p 为自变量个数），否则自由度不足无法检验；经验法则是每个自变量至少 10–20 个样本（如 3 个自变量建议 n ≥ 30）。样本太少时估计不稳、容易过拟合，本工具在 n < 10(p) 时会给小样本提示。

bⱼ 表示在其他自变量保持不变时，Xⱼ 每增加 1 个单位、Y 平均变化 bⱼ 个单位；p < 0.05 表示该系数在 0.05 水平上显著异于 0。注意各系数大小受量纲影响，不能直接比较「谁更重要」——要比较相对重要性需看标准化系数（Beta），本工具输出的是非标准化系数。

没有统一线：横截面个体数据 R² 0.2–0.5 很常见，时间序列/宏观数据往往 0.8 以上。比 R² 更重要的是模型 F 检验是否显著、核心变量符号与显著性是否符合理论预期。自变量越多 R² 只会越高，比较不同自变量个数的模型请看调整 R²。

说明某个自变量可以被其他自变量线性表出（如同时放入「总分」与「各分项」），XᵀX 奇异无法求解。请删掉冗余变量后重算。即使不完全共线，自变量高度相关（多重共线性）也会使系数不稳，正式论文建议用 SPSS/Stata 查 VIF（经验上 VIF > 10 需处理）。

完整的回归分析通常包括：回归前的描述统计与相关分析；回归后的残差诊断（正态性、异方差）、多重共线性检查（VIF）；数据是分类变量时设哑变量，Y 是 0/1 变量时改用 Logistic 回归。本工具聚焦 OLS 主结果，诊断部分请在 SPSS/Stata/R 中补做。

不会。计算完全在你的浏览器本地完成，任何数据都不发送到服务器，也不调用 AI 服务。